Знаем на 5! - Задачи для самостоятельного решения

1. Володя имеет две небольшие специальные библиотечки: книги по туризму и книги по шахматам. Те и другие он нумерует отдельно. Изучая по учебнику тему «Простые и составные числа» и одновременно перебирая свои книжные богатства, Володя обнаружил, что книг по туризму с простыми номерами у него столько же, сколько и с непростыми, а книг по шахматам с составными номерами — столько же, сколько и с несоставными. Какое наибольшее число книг могло быть у него в каждой из библиотечек? В какой библиотечке книг больше?

2. Натуральные числа а и b удовлетворяют условию 15а = 32b. Может ли число а - b быть простым? Если может, постройте пример, если не может, докажите.

3. Может ли быть составным числом остаток от деления простого числа на: а) 30; б) 60?

4. Докажите, что число 217 + 25 — 1 является составным.

5. Найдите все просты p, при которых являются простыми числа:
а) p2 +13; б) p2+14; в) 2p + 1 и 4p + 1; г) p4-6; д) p2 + 4 и p2 + 6.

6. Найдите все простые p, при которых являются простыми числа:
р2 - 2, 2p2 - 1 и Зp2 + 4.

7. Найдите все простые числа, которые являются одновременно суммами и разностями двух простых чисел.Докажите, что если число 111...1 (n единиц) — простое, то и n — простое. Верно ли обратное утверждение?

8. Верно ли, что для любого натурального а существует такое натуральное число х, что будет составным число:
а) ах + 3; б) ах + 5?