5. Можно ли 12 целых чисел расположить в строчку так, чтобы: 
а) сумма любых трех соседних чисел была нечетной, а сумма любых четырех соседних чисел — четной; 
б) сумма любых трех соседних чисел была четной, а сумма любых четырех соседних чисел — нечетной?

6. Школьник сложил три последовательных натуральных числа, затем три  следующих числа и полученные суммы перемножил. У него получилось число 791. Не ошибся ли он? Почему?

7. В футбольном турнире в один круг участвуют 15 команд. Докажите, что в любой момент турнира найдется команда, которая сыграла к этому моменту четное число матчей (может быть, ни одного).

8. Может ли произведение (За – 9b + с + 5)(2а + Зb-1с+ 1)(а + 6b + 4с - 2) 
быть нечетным при каких-либо целых значениях а, b и с?

9. Пусть a1 a2 a3 ..., а25 — целые числа, a b1 b2 b3, ..., b25 — те же самые числа, взятые в другом порядке. Докажите, что число (а1 – b1)(а2 - b2)(а3 - b3)...(а25 - b25) является четным.

10. Четны или нечетны числа: 
а) I2 + 22 - З2 + 42 + 52 - б2 + ...+ 19992 + 20002 - 20012; 
б) 1-3-5 + 7-9-11 +...+ 607 - 609 - 611?

11. На классной доске написаны числа 1, 2, 3,..., 49. Разрешается стереть любые два числа и вместо них написать одно — их разность. После 48 таких операций на доске осталось одно число. Может ли оно быть равным 10?

12*. На прямой расположено несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. И т. д. Докажите, что после каждой такой операции общее число точек будет нечетным.

13*. Докажите, что в любой компании число тех людей, которые знакомы с нечетным числом членов компании, четно.