Если утверждение верно всегда, то докажите его, а если хоть в одном случае неверно, то покажите, что это за случай (приведите контрпример).
№1. Приведите контрпример к утверждению: Все числа, делящиеся на 4 и на 6, делятся на 24.
Решение
№2. Приведите контрпример к каждому из следующих утверждений: а) Все прямоугольники являются квадратами. в) Все четырехугольники, у которых все стороны равны, являются квадратами.
Решение
№3. Вася думает, что если площадь первого прямоугольника больше площади второго, а также периметр первого больше периметра второго, то из первого можно вырезать второй. Прав ли он?
Решение
№4. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
Решение
№5. Выберите 24 клетки в прямоугольнике 5 х 8 и проведите в каждой выбранной клетке одну из диагоналей так, чтобы никакие две проведенные диагонали не имели общих концов.
Решение
№6. Барон Мюнхгаузен утверждает, что может для некоторого N так переставить числа 1,2, ..., N в другом порядке и затем выписать их все подряд без пробелов, что в результате получится многозначное число-палиндром (оно читается одинаково слева направо и справа налево). Не хвастает ли барон?
Решение
№7. На доске написаны три различных числа от 1 до 9. Одним ходом разрешается либо прибавить к одному из чисел 1, либо вычесть из всех чисел по 1. Верно ли, что всегда можно добиться того, чтобы на доске остались только нули, сделав не более 23 ходов?
Решение
№8. Рома придумал теорему: Если число A является квадратом натурального числа B, а также каждая цифра числа A делится на 3, то и каждая цифра числа B делится на 3. Верна ли Ромина теорема?
Решение
