ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ЧИСЕЛ

1. В магазин "Все для малышей" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?
Решение.
Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит их сумма должна быть четна. Но 53 - число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.

2. Спонсор решил устроить телефонизацию деревни Курочкино. Он хочет 7 имеющихся телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Можно ли это сделать?
Решение.
При решении этой задачи используется такое соображение - если мы рассматриваем объекты типа веревки - провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т. д. - то при любом количестве объектов число концов должно быть четным.
Предположим, что мы соединили 7 телефонов между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Посчитаем количество концов проводов, соединяющих эти телефоны. Понятно, что их число должно быть четным. От каждого из 7 телефонов отходит 3 конца, всего 7•3 = 21 конец, число нечетное, значит нельзя 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.

3. У Маши было 5 плиток шоколада фабрики "Красный октябрь". Может ли Маша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?
Ответ. Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четно.

4. Пять девятиногов с планеты Шуруру решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли он одновременно провести поединки для всех своих ног, чтобы все ноги принимали участие и в каждом поединке встречалось ровно две ноги?
Ответ. Девятиноги не смогут провести поединки для всех ног одновременно, так как в каждом принимает участие 2 ноги, а всего ног 5*9 = 45.

5. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?
Решение.
Из 17 натуральных чисел 8 четных:
2,4,6,8,10,12,14,16, остальные 9 нечетны. Сумма всех этих четных чисел четна (свойство 3), сумма  нечетных нечетна (свойство 5). Тогда сумма всех 17 чисел нечетна как сумма четного и нечетного чисел (свойство 4).
Ответ: нечетна.

6. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на
каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?
Решение.
Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1 a2 a3 а4, a5, a
число жителей в подъездах соответственно через b1 b2 b3 b4. Тогда общее число  жителей дома можно подсчитать двумя способами — по этажам и по подъездам:
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b1, + b2 + b3 + b4.
Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части — четной. Следовательно, это невозможно.
Ответ: не могут.

7. Четно или нечетно произведение (7а + b - 2с + 1)(3а – 5b + 4с + 10),
где числа a, b, с — целые?
Решение.
Можно перебирать случаи, связанные с четностью или нечетностью чисел а, b и с (8 случаев!), но проще поступить иначе. Сложим множители:
(7а + b - 2с + 1) + (За -5 b + 4с+ 10) = 10а - 4 b + 2с + 11.
Так как полученная сумма нечетна, то один из множителей данного 
произведения четен, а другой нечетен. Следовательно, само произведение четно.
Ответ: четно.

8. Сережа написал на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Коля  переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из мальчиков ошибся при подсчете?
Решение.
 Если все звездочки заменить на плюсы, то полученная сумма будет нечетной
(проверьте!), а, следовательно, и данная сумма — тоже. Поэтому по меньшей мере ошибся Коля.
Ответ: верно.

9*. На семи карточках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Затем карточки 
перевернули, перемешали и на обратных сторонах написали те же числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Числа, написанные на обеих сторонах каждой карточки, сложили и полученные суммы перемножили. Четно или нечетно полученное произведение?
Решение.
 Допустим, что произведение нечетно. Для этого все 7 множителей должны
быть нечетными. Но тогда у четырех карточек, у которых на одной стороне 
написаны нечетные числа 1, 3, 5 и 7, на другой стороне должны быть числа четные. Однако четных чисел здесь только три.
Следовательно, этот случай невозможен.
Ответ: четно.