|
1. Найдите остаток от деления 2003 • 2004 • 2005 + 20063 на 7.
Решение.
Произведем действия с остатками от деления каждого из чисел на 7: 1 • 2 • 3 + 43. Обратим внимание на то, что 43 = 64 = 7 • 9 + 1, тогда 6 + 1 = 7, и остаток от деления на 7 будет равен нулю. 2. Докажите, что N3 + 2N делится на 3 для любого натурального N
Решение.
Число N при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1,2. Рассмотрим все три возможных случая.
Если N дает остаток 0, то и N3 и 2N делятся на 3, и поэтому N3 + 2Nтакже делится на 3.
Если N дает остаток 1, то и N3 дает остаток 1, 2N — остаток 2, а 1 + 2 делится на 3.
Если N дает остаток 2, то N2 дает остаток 1,N3 — остаток 2, 2N — остаток 1, а 2 + 1 делится на 3.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Ключевым моментом при решении этой задачи было сведение ее к перебору возможных остатков от деления на некоторое число. На этот метод необходимо обращать внимание для того, чтобы было понятно, что подобный перебор действительно является полным решением. 3. Натуральные числа X, Y, Z таковы, что X2 + Y2 = Z2. Докажите, что хотя бы одно из чисел делится на 3.
Доказательство.
Используем сформулированное без доказательства свойство. Оно сразу приводит к ответу. 4. Найдите последнюю цифру числа 19891989.
Решение.
Заметим, что последняя цифра числа 19891989 совпадает с последней цифрой числа 91989. Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней числа 9: 9, 1, 9, 1, 9, 1, Ясно, что все нечетные степени девятки оканчиваются на 9. Поэтому последняя цифра числа 19891989 - девятка. 5. р, р + 10, р + 14 — простые числа. Найдите р.
Решение.
Очевидно, что одно из чисел должно делиться на 3, поэтому р = 3. 6. Найдите все натуральные числа, при делении которых на 6 в частном получится то же число, что и в остатке.
Решение.
Обозначим искомое число через а, частное и одновременно остаток — через q. Тогда а = 6 q + q = 7q.
Казалось бы, ответом являются все натуральные числа, делящиеся на 7. Однако это не так, поскольку остаток q должен удовлетворять неравенству 0 < q < 6. Полагая q = 1, 2, 3, 4 и 5, находим все возможные значения а.
Ответ: 7, 14,21,28,35. 7. При делении двузначного числа на 6 в остатке получилось число, равное цифре его десятков, а при делении того же числа на 10 частное было равно 3, а остаток — цифре единиц делимого. Найдите все такие двузначные числа.
Решение.
Обозначим искомое число через ху. Тогда 
Из второго уравнения получаем:
10х + у=30+у, х=3.
Преобразуем первое уравнение:
30+у = 6 q + 3, 27 + y = 6q.
Отсюда цифра у нечетна и делится на 3, т. е. у = 3 или у = 9.
Ответ: 33, 39. 8. Частное от деления трехзначного числа на сумму его цифр равно 13, а остаток — 15. Найдите все такие трехзначные числа.
Решение.
Обозначим искомое число через xyz. Получаем:
100х+10y + z=13(x + y + z) + 15, 87х = 3у+ 12х + 15, 29x = y + 4z +5.
Так как
у + 4z + 5<9 + 4*9 + 5 = 50, то 29х < 50, откуда х = 1.
Теперь решим уравнение
29=y + 4z+5, y + 4z = 24.
Отсюда видно, что цифра y делится на 4. Находим такие решения:
y = 0,z = 6; y = 4,z = 5; y =8,z = 4.
Ответ: 106, 145, 184. 9. Если числа 826 и 4373 разделить на одно и то же натуральное число, то получатся соответственно остатки 7 и 8. Найдите все значения делителя.
Решение.
Запишем соответствующие равенства:
826 = bq1 + 7, 4373 = bq2 + 8,
где b — неизвестный делитель, q1 и q2 — неполные частные.
Тогда bq1 = 819, bq2 = 4365.
Разложим числа 819 и 4365 на простые множители:
819 = З2* 7* 13, 4365 = З2 • 5 • 97.
Следовательно, общими делителями чисел 819 и 4365 являются числа 1, 3 и 9. Но общие делители, равные 1 и 3, невозможны, так как остаток должен быть меньше делителя. Остается число 9.
Ответ: 9. 10. При делении натурального числа а на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 — остаток 2. Какой остаток получится при делении а на 6?
Решение
Положим а = 6q + г, где остаток г удовлетворяет неравенству 0 < г < 5. Переберем все возможные значения г.
Случай г = 0 невозможен, иначе число а делится на 2 и на 3.
Случай г = 1 — тоже, так как тогда а при делении на 3 дает в остатке 1, а не 2.
По аналогичным причинам отпадают случаи г = 2, г = 3 и г = 4.
Случай г = 5 возможен, например, при а = 5 или а = 11.
Ответ: 5.
|
