|
1. Есть ли сокровище на этом острове? На некотором острове, населенном рыцарями и лжецами, разнесся слух о том, что на нем зарыты сокровища. Вы прибываете на остров и спрашиваете у одного из местных жителей (назовем его A), есть ли золото на его острове. В ответ на ваш вопрос A заявляет: "Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь". Наша задача подразделяется на две части: а) Можно ли определить, кто такой A - рыцарь или лжец? б) Можно ли определить, есть ли сокровища на острове? Решение. Определить, кто такой A - рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове. Для решения этой и других задач серии "Есть ли сокровища на этом острове?", установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец) высказывает утверждение "Я рыцарь в том и только в том случае, если P", то P должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий - рыцарь или лжец). Пусть K - утверждение о том, что говорящий - рыцарь. По словам говорящего, K эквивалентно P. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда K действительно эквивалентно P, и K - истинно. Следовательно, P эквивалентно истинному утверждению. Значит, P должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий - лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому P не эквивалентно K. Кроме того, так как он лжец, то утверждение K ложно. Поскольку P не эквивалентно ложному утверждению K, то P должно быть истинно (если бы P было эквивалентно K, то P было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий - рыцарь или лжец, P должно быть истинно. Инспектор Лесли Крэг из Скотланд-Ярда любезно согласился предоставить мне записки о некоторых распутанных им делах, с тем чтобы я мог поведать о них для пользы и в назидание тем, кто интересуется применением логики к раскрытию уголовных преступлений. 2. Начнем с простого дела. На складе было совершено крупное хищение. Преступник (или преступники) вывез награбленное на автомашине. Подозрение пало на трех преступников-рецидивистов A, B и C, которые были доставлены в Скотланд-Ярд для допроса. Было установлено следующее: 1) Никто, кроме A, B и C, не был замешан в хищении. 2) C никогда не ходит на дело без A (и, возможно, других соучастников). 3) B не умеет водить машину. Виновен или не виновен A? Решение. Покажем прежде всего, что по крайней мере один из A, C виновен. Если B не виновен, то ясно, что виновен кто-то из A, C (или оба), так как из высказывания (1) следует, что никто, кроме A, B и C, не может быть виновен. Если B виновен, то у него должен быть соучастник (так как B не умеет водить машину). Следовательно, и в этом случае A или C должен быть виновен. Таким образом, кто-то из A и C (или оба) виновен. Если C не виновен, то A должен быть виновен. С другой стороны, если C виновен, то в силу высказывания (2) A также виновен. Следовательно, A виновен. 3. Дело о двух неразличимых близнецах. В Лондоне совершено ограбление. Трое подозреваемых - рецидивисты A, B и C - вызваны на допрос. Подозреваемые A и С - близнецы и похожи друг на друга настолько, что мало кто умеет отличать одного из них от другого. В картотеке Скотланд-Ярда имеются подробные сведения о всех троих, в том числе об их характере, наклонностях и привычках. В частности, известно, что оба близнеца по характеру робки, и ни один из них не отваживается идти на дело без соучастника. Подозреваемый B отличается большой дерзостью и терпеть не может ходить на дело с соучастником. Кроме того, несколько свидетелей показали, что во время ограбления одного из близнецов видели в баре в Дувре, но установить, о ком из двух близнецов шла речь, не удалось. Предположим, что в ограблении не был замешан никто, кроме A, B и C. Кто из них виновен и кто не виновен? Решение. Предположим, что B не виновен. Тогда должен быть виновен один из двух близнецов. У этого близнеца должен быть соучастник, а поскольку B не мог быть сообщником, то им должен быть другой близнец. Но это невозможно, так как одного из близнецов во время преступления видели в Дувре. Следовательно, B виновен. А поскольку B всегда "ходит на дело" в одиночку, то оба близнеца не виновны. 4. "Какие выводы вы сделали бы из следующих фактов?" - спросил инспектор Крэг у сержанта Макферсона: 1) Если A виновен и B невиновен, то C виновен. 2) C никогда не действует в одиночку. 3) A никогда не ходит на дело вместе с C. 4) Никто, кроме A, B и C, в преступлении не замешан, и по крайней мере один из этой тройки виновен. Сержант поскреб в затылке и сказал: - Боюсь, что я смогу извлечь из этих фактов не слишком много, сэр. А вы можете, опираясь на них, доказать, кто из трех подозреваемых виновен и кто не виновен? - Не могу, - признался Крэг, - но чтобы выдвинуть неопровержимое обвинение против одного из них, материала вполне достаточно. Чья виновность не вызывает сомнений? Решение. Не вызывает ни малейших сомнений виновность B. Доказать это можно при помощи любого из следующих рассуждений. Рассуждение первое. Предположим, что B не виновен. Тогда если бы A был виновен, то C также был бы виновен в силу высказывания (1). Это означало бы, что вопреки высказыванию (3) A совершил преступление вместе с C. Следовательно, A должен быть не виновен. Но тогда вопреки высказыванию (2) C единственный, кто виновен. Значит, B виновен. Рассуждение второе. Оно прямее приводит к ответу на вопрос задачи. а) Предположим, что A виновен. Тогда в силу высказывания (3) B и C не могут быть оба не виновны, поэтому у A должен быть соучастник. Так как C в силу высказывания (3) не мог быть соучастником A, то им должен быть B. Следовательно, если A виновен, то B также виновен. б) Предположим, что C виновен. Тогда в силу высказывания (2) у него должен быть соучастник, которым в силу высказывания (3) не мог быть A. Следовательно, им должен быть B. в) Если ни A, ни C не виновны, то B несомненно виновен! 5. Кто из юношей А, В, С играет в шахматы, если: 1) Из А и В один играет, другой не играет. 2) А и С или оба играют, или оба не играют. 3) Если А играет, то играет и В. Решение. Если бы в шахматы играл А, то в силу высказывания 3, играл бы и В, но это противоречит высказыванию 1.Итак, А не играет в шахматы, но тогда в силу второго высказывания не играет и С, а следуя первому высказыванию играет в шахматы В. Ответ: в шахматы играет юноша В. 6. На столе лежат четыре карточки. Известно, что с одной стороны в каждой карточке буква, а с другой - натуральное число.  Какие карточки достаточно перевернуть, чтобы выяснить истинно или ложно предложение: «Если на одной стороне гласная буква, то на другой стороне – чётное число.
Решение. Не стоит переворачивать вторую карточку, так как число, написанное на её обороте, нас не интересует (согласные буквы нас не интересуют). Не следует также переворачивать и третью карточку потому что в силу таблицы истинности наше предложение будет истинно, и поэтому нас не интересует что написано на обороте третьей карточки. Первую карточку надо перевернуть, чтобы проверить, не ложно ли утверждение. Надо перевернуть и четвёртую карточку, чтобы убедиться, не написана ли на обороте гласная буква. 7. Какое наибольшее число утверждений может быть одновременно истинными, если даны следующие утверждения: 1) Джо – ловкач. 2) Джо – не везёт. 3) Джо везёт, но он не ловкач. 4) Если Джо – ловкач, то ему не везёт. 5) Джо – ловкач в том и только том случае, когда ему везёт. 6) Либо Джо – ловкач, либо ему везёт, но ни то и другое одновременно. Решение. Третье утверждение не совместимо с первым и вторым утверждениями, а пятое – с третьим, четвёртым и шестым утверждениями. Значит, по меньшей мере, два утверждения могут быть ложны, целесообразно взять в качестве ложных утверждений пятое и третье. Остальные могут быть совместимы при этом. Получаем, что четыре утверждения: первое, второе, четвёртое и шестое могут быть истинными. 8. Племя людоедов поймало Робинзона Крузо. Вождь сказал: «Мы рады бы отпустить тебя, но по нашему закону ты должен сказать какое-нибудь утверждение. Если оно окажется истинным, мы съедим тебя. Если оно окажется ложным, тебя съест наш ручной лев.» Что сказать Робинзону, чтобы людоеды его отпустили? Решение. «Меня съест ваш ручной лев». Это утверждение не истинно и не ложно. Высказывания могут быть не только истинными или ложными... 9. Однажды на лестнице Гарри Поттер нашел странный свиток. В нем было записано сто утверждений: «В этом свитке ровно одно неверное утверждение» «В этом свитке ровно два неверных утверждения» «В этом свитке ровно три неверных утверждения» ………………………………………………………… «В этом свитке ровно сто неверных утверждений» Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие? Решение. То, что в свитке записано 100 утверждений, каждые два из которых противоречат друг другу, означает, что если среди них и есть верные утверждения, то их не может быть более одного. Посмотрим, может ли здесь быть хотя бы одно верное утверждение. Если верно ровно одно утверждение, то ровно девяносто девять неверных. А такое утверждение в свитке есть: «В этом свитке ровно девяносто девять неверных утверждений». Итак, в свитке записано ровно одно верное утверждение. Ответ. В свитке записано ровно одно верное утверждение: "В этом свитке ровно 99 неверных утверждений".
|
