В предметах окружающего мира вы прежде всего замечаете их отдельные свойства, отличающие один предмет от другого.
Обилие частных, индивидуальных свойств заслоняет собой свойства общие, присущие решительно всем предметам, и обнаружить такие свойства поэтому всегда труднее.
Одним из важнейших общих свойств предметов является то, что все предметы можно считать и измерять. Мы отражаем это общее свойство предметов в понятии числа.
Потребность считать и сравнивать (измерять) предметы возникла у людей не сразу, но очень давно — еще на ранней ступени развития человека, возникла в процессе его трудовой деятельности.
Овладевали люди процессом счета, то есть понятием числа, очень медленно, веками, в упорной борьбе за свое существование.
Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития.
Счету при помощи числа обучается теперь каждый человек незаметно еще в детстве, почти одновременно с тем, как начинает говорить, но этот привычный нам счет прошел длительный путь развития и принимал разные формы.
Было время, когда для счета предметов употреблялись лишь два числительных: один и два. В процессе дальнейшего расширения системы счисления привлекались части человеческого тела и в первую очередь пальцы, а если не хватало такого рода «цифр», то еще палочки, камешки и другие вещи.
 Н. Н. Миклухо-Маклай в своей книге «Путешествия» рассказывает о забавном способе счета, применявшемся туземцами Новой Гвинеи:
«Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например, «бе, бе, бе» ... Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе» ..., пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе» ..., пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».
Вслед за возникновением и развитием чисел появилась и замечательная наука об их свойствах и законах, ими управляющих: «теория чисел».
Оперируя числами, то есть выполняя разнообразные математические действия, мы обнаруживаем не только их общие свойства, изучением которых занимается теория чисел, но и свойства особые, присущие иногда лишь небольшим группам чисел или отдельным числам. Эти особенные свойства могут и не иметь большого теоретического значения, но нередко весьма любопытны. Покопайтесь в огромном массиве чисел, которых больше, чем руды в земле, и вы найдете свойства интересные и удивительные, диковинные и забавные, неожиданные и курьезные.
Итак, все здесь не так уж и сложно. Первый, самый первый вид чисел - это натуральные числа. Это те числа, которые мы используем при счете: один, два, три, четыре... Возникает вопрос: входит ли в натуральные числа ноль? - Можно задать ответный вопрос: А Вы используете ноль при счете? - Нет. Поэтому и ноль не является натуральным числом.
Для любого натурального числа существует только одно следующее. Единица является наименьшим натуральным числом, поскольку нет такого натурального числа, для которого она была бы следующим. Наибольшего натурального числа не существует, поскольку для любого натурального числа можно построить следующее. Формально структура множества натуральных чисел задается пятью аксиомами Пеано.
Аксиомы Пеано — система аксиом, задающая структуру ряда натуральных чисел (натурального ряда), то есть чисел, возникших первоначально из счета предметов. Система аксиом Пеано включает пять аксиом, из которых выводятся все свойства натуральных чисел:
1 является натуральным числом;
число, следующее за натуральным, также является натуральным;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
аксиома индукции: если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (шаг индукции), то это предложение верно для всех натуральных чисел. Натуральными называют числа, используемые при счете (нумерации, перечислении) предметов. То есть, это целые положительные числа. Отрицательные и нецелые числа — к натуральным не относятся.
|
